證明數列收斂通常是落實到定義上或者證明數列的極限是固定值。比如數列an=a0+1/n，隨著n增大，lim(an)=a0，因此可證明數列{an}是收斂的。數列收斂的定義：如果數列{Xn}，如果存在常數a，對於任意給定的正數q（無論多小），總存在正整數N，使得n>N時，不等式|Xn-a|<q都成立，就稱數列{Xn}收斂於a（極限為a），即數列{Xn}為收斂數列。

具體證明各種數列收斂的方法是高數至少半個學期的課程，不可能在這給一一列出來。可參考微積分II的教材，非常詳細。

有界性，定義：設有數列xn,若存在M>0,使得一切自然數n,恆有|Xn|<M成立，則稱數列xn有界。定理1：如果數列{Xn}收斂，那麼該數列必定有界。

推論：無界數列必定發散；數列有界，不一定收斂；數列發散不一定無界。數列有界是數列收斂的必要條件，但不是充分條件。

保號性，如果數列{Xn}收斂於a，且a>0（或a<0），那麼存在正整數N，當n>N時，都有Xn>0（或Xn<0

求得出極限 定義

首先每個f_n(x)都有界，設其值域為[c_n,d_n]，那麼{f_n(x)}一致有界，即存在m>0使得-m < inf c_n <= sup d_n < m

然後在[-m,m]上g(x)一致連續，然後完全利用一致連續和一致收斂的定義證明結論就行了，沒有任何難度

如何證明函數收斂？如何證明函數收斂？如何證明函數收斂？

判斷函數和數列是否收斂或者發散：

1、設數列{Xn}，如果存在常數a，對於任意給定的正數q（無論多小），總存在正整數N，使得n>N時，恆有|Xn-a|<q成立，就稱數列{Xn}收斂於a（極限為a），即數列{Xn}為收斂。

2、求數列的極限，如果數列項數n趨於無窮時，數列的極限能一直趨近於實數a，那麼這個數列就是收斂的；如果找不到實數a，這個數列就是發散的。看n趨向無窮大時,Xn是否趨向一個常數,可是有時Xn比較複雜,並不好觀察。這種是最常用的判別法是單調有界既收斂。

3、加減的時候,把高階的無窮小直接捨去如 1 + 1/n,用1來代替乘除的時候,用比較簡單的等價無窮小來代替原來複雜的無窮小來如 1/n * sin(1/n) 用1/n^2 來代替

4、收斂數列的極限是唯一的，且該數列一定有界，還有保號性，與子數列的關系一致。不符合以上任何一個條件的數列是發散數列。另外還有達朗貝爾收斂準則,柯西收斂準則,根式判斂法等判斷收斂性

一 函數列及其一致收斂性

函數列 一列定義在同一數集 E 上的函數 f_1,\cdots,f_n,\cdots ，記為 \{f_n\} ~~~\mathrm{or}~~~~ \{f_n(x)\}

函數列在一點收斂 設 x_0\in E 且數列 \{f_n(x_0)\} 收斂，則稱\{f_n(x)\}在 x_0 收斂，否則稱發散。

\{f_n(x)\} 在數集 D 收斂 若 \forall x\in D\subset E, \{f_n(x)\} 都收斂，即它在 D 上的每一點都收斂。

極限函數 若函數列在數集 D 收斂，則 \forall x, \lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=f(x).

\epsilon-N 定義 \forall x\in D,\forall \epsilon>0,\exists N（與 x, \epsilon 都有關），\forall n>N 時，有 |f_n(x)-f(x)|<\epsilon.

收斂域 使函數列收斂的全體收斂點的集合。

例1 f_n(x)=x^n，收斂域 (-1,1] ,且極限函數 f(x)=\begin{cases} 0, & -1<x<1 \\ 1, & x=1 \end{cases}.

例2 f_n(x)=\frac{\sin nx}{n}, |f_n(x)|\leq \frac{1}{n}\rightarrow 0 (n\rightarrow +\infty),所以極限函數 f(x)\equiv0, \forall x\in R.

對於函數列，如果我們僅僅要討論它在哪些點收斂，則只需要數列極限的理論即可。

事實上，更重要的是研究極限函數的解析性質（分析性質）——連續性，可微性和可積性。

為此，我們需要對它在 D 上的收斂性提出更高的要求，即一致收斂性。

定義（一致收斂） 我們稱函數列 \{f_n(x)\} 在 D 上一致收斂於 f(x) ,如果 \forall\epsilon>0, \exists N, \forall n>N, 對一切 x\in D ,都有 |f_n(x)-f(x)|<\epsilon.

一致收斂記作 f_n(x)\rightrightarrows f(x) (n\rightarrow \infty), x\in D.

下面我們學習函數列一致收斂的判別法。

定理13.1（柯西準則） f_n(x)\rightrightarrows f(x), x\in D 的充分必要條件是：

\forall\epsilon>0, \exists N>0, \forall n,m>N, 對一切 x\in D , 都有 |f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon.

證明 [必要性] |f_n(x)-f_m(x)|\leq |f_n(x)-f(x)|+|f_m(x)-f(x)|.

[充分性] 首先由數列收斂的柯西準則得其收斂，記f_m(x)\rightarrow f(x), m\rightarrow \infty, x\in D，

固定 n ,令 m\rightarrow \infty , 由數列極限的性質 |f_n(x)-f(x)|\leq \epsilon ，這就是一致收斂的定義。 \Box

注1 證明充分性的方法非常典型。

注2 \leq \epsilon 為什麼不影響一致收斂的定義。

定理13.2 f_n(x)\rightrightarrows f(x), n\rightarrow \infty, x\in D 的充分必要條件是 \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|=0.

證明 [必要性] |f_n(x)-f(x)|<\epsilon\Rightarrow \sup_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|\leq \epsilon（上確界是最小上界！）

[充分性] 性] \sup_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|<\epsilon \Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\epsilon,再由一致收斂的定義。 \Box

注 定理13.2給了判別一致收斂的一個操作性強的方法，它的缺點在於須先知道極限函數，並且有時候上確界的求解較複雜。

再回首，看看例2. \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in R}|\frac{\sin nx}{n}-0|=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0.

推論 函數列 \{f_n(x)\} 在 D 上不一致收斂於 f(x) 的充分必要條件是： \exists \{x_n\}\subset D ,使得

\{f_n(x_n)-f(x_n)\} 不收斂於0.

這是定理13.2的直接推論，經常用來論證不一致收斂。

例3 f_n(x)=nxe^{-nx^2}, x\in (0,+\infty)

解 易得極限函數為 f(x)=0. （過程學生自己寫，至少知道怎麼回事）

方法1（定理13.2） 由f_n(x)=nxe^{-nx^2}的最大值點為 x_n=\frac{1}{\sqrt {2n}} ，我們有

\sup_{x\in(0,+\infty)}|f_n(x)-0|=\sup_{x\in(0,+\infty)}nxe^{-nx^2}=f_n(x_n)=\sqrt{n/2}e^{-1/2}\rightarrow +\infty .

方法2（推論） 取 x_n=1/n, f_n(x_n)=e^{-\frac{1}{n}}\rightarrow 1\neq 0 .

注 方法1估計誤差“精確”，四平八穩；

方法2的估計粗略但“夠用”，較方法一巧妙一些，但技巧是要以基本功為前提的。 \Box

一致收斂的要求並不低，為了今後方便使用，我們介紹如下“略弱”的定義。

定義（內閉一致收斂） 如果 \forall [a,b]\subset I, \{f_n(x)\}在閉區間 [a,b] 上一致收斂於 f(x) ，則稱函數列 \{f_n(x)\} 在 I 上內閉一致收斂於 f(x).

注 當 I 為閉區間時，那麼內閉一致收斂和一致收斂是等價的。

思考題（作業） \{x^n\} 在 (0,1) 上不一致收斂，但內閉一致收斂。

同樣，例3中的 \{f_n(x)\} 在 (0,+\infty) 上也是內閉一致收斂的，因為 \forall [a,b]\subset (0,+\infty) ,

f_n(x)\leq nbe^{-na^2}\rightarrow 0 (n\rightarrow \infty).