有加法、減法、數乘、數量積、向量積等法則。向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則；向量的加減乘（向量沒有除法）運算滿足實數加減乘運算法則。

在數學中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量），指具有大小和方向的量。

它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。與向量對應的量叫做數量（物理學中稱標量），數量（或標量）只有大小，沒有方向。

向量的記法：印刷體記作黑體（粗體）的字母（如a、b、u、v），書寫時在字母頂上加一小箭頭“→”。如果給定向量的起點（A）和終點（B），可將向量記作AB（並於頂上加→）。在空間直角坐標系中，也能把向量以數對形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。

在物理學和工程學中，幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量，比如一個物體的位移，球撞向牆而對其施加的力等等。與之相對的是標量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯繫，例如向量勢對應於物理中的勢能。

兩個向量的向量積的求法是：兩個向量a和b的叉積寫作a×b，叉積可以定義為a×b=absinθn。在這裡θ表示a和b之間的角度（0°≤θ≤180°），位於這兩個矢量所定義的平面上。而n是一個與a、b所在平面均垂直的單位矢量。

向量積，也被稱為叉積（即交叉乘積）、外積，是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是一個偽向量而不是一個標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量都垂直。

兩個向量的差積，過程是這樣的：把兩個向量的第一列數分別挪到兩個數列最後的數，然後交叉相乘，再相減，左1*右2-左2*右1=1*4-（-1）*0，得向量的第一個數值4；再把現有的兩個向量第一個數字再挪到最後（重複前面的過程），再用第一個向量的左1*右2-左2*右1=......; 再重複這樣的過程。分別得差積後的向量值。這個過程可以在草稿紙上演練；這個模版沒有辦法演示。

注意：運算的順序不能出錯。