轉置後的矩陣與原矩陣的關系：

1、如果AAT=E（E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉置矩陣”）或ATA=E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣。

2、一階矩陣的轉置不變。

正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但是存在一種復正交矩陣，復正交矩陣不是酉矩陣。正交矩陣的一個重要性質就是它的轉置矩陣就是它的逆矩陣。

矩陣的應用：

矩陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；計算機科學中，三維動畫制作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。

對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算算法。關於矩陣相關理論的發展和應用，請參考矩陣理論。在天體物理、量子力學等領域，也會出現無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣

方陣的行列式是一個數字，這個數字包含了矩陣的大量信息。首先，它立即告訴了我們這個矩陣是否可逆。矩陣的行列式為零的話，矩陣就沒有逆矩陣。當可逆的時候，其逆矩陣的行列式為。

行列式可以用來求逆矩陣、計算主元和求解方程組，但是我們很少這樣做，因為消元會更快。

對於上述矩陣，如果行列式為零的話，我們不能除以零，也就是沒有逆矩陣。其主元為和，主元的乘積就是行列式的值。

行列式有三個基本的性質，由這三個性質我們可以計算任意方針的行列式，的行列式記作或者。

性質 1：，單位矩陣的行列式為 1 ，與之對應的是單位立方體的體積是 1。

性質 2：當兩行進行交換的時候行列式改變符號。

由這個性質，我們可以很容易得到所有置換矩陣的行列式，置換矩陣都是由單位矩陣演化而來，當有奇數次行交換時，；當有偶數次行交換時，。

性質 3：行列式是單獨每一行的線性函數（其它行不變）。

若某一行乘以，行列式就也乘以。如果某一行加上另一行，行列式就也相加。

這不意味著，是對其中的每一行都乘以 2，因此要乘以。

這就像面積或者體積一樣，長方形的長和寬都變為原來的 2 倍的話，面積就會變為 4 倍。

性質 4：當矩陣中有兩行一樣的話，。

利用性質 2，我們對這兩行進行行交換，矩陣仍然保持不變，但其行列式需要變號，那麼行列式只能為零。

性質 5：用矩陣的一行減去另一行的倍數，行列式不變。

在消元的過程中，行列式不會改變，如果有行交換的話，符號不同，因此有。

性質 6：當矩陣的某一行全為零的時候，行列式為零。

利用性質 5，將全零行加上另外一行。

性質 7：如果矩陣是三角形的，那麼行列式等於對角線上元素的乘積。

利用性質 5，我們可以將對角線上面或者下面的元素通過消元法全部變成 0，這不會改變行列式的值。然後，矩陣就只有對角線上有非零值，我們再利用性質 3 將每行的係數提取出來，矩陣就變成了單位矩陣。

性質 8：如果矩陣是可逆的那麼，反之。

消元過程會讓變為，如果是不可逆的，那麼中一定有全零行，其行列式為零。如果是可逆的，那麼中的對角線為主元，其行列式為對角線的乘積，也即主元的乘積。

如果，那麼有，為對角線上為 1 的下三角矩陣，因此有，而，所以。