點到直線的距離公式推導方法：

1. 定義法

2. 函數法

3. 不等式法

4向量法

5轉化法

6三角形法

7參數方程法

點到直線的距離，即過這一點做目標直線的垂線，由這一點至垂足的距離。

七種推導方式：1.三角形法；2.向量法；3.參數方程法；4.投影法；5.垂直平分線法；6.勾股定理法；7.直線方程法。

主要運用：1.三角形法：將點和直線看作兩條直線，構成一個三角形，利用三角形的性質求解；2.向量法：利用向量的性質求解；3.參數方程法：利用直線的參數方程求解；4.投影法：利用點到直線的投影求解；5.垂直平分線法：利用垂直平分線的性質求解；6.勾股定理法：利用勾股定理求解；7.直線方程法：利用直線的方程求解。

點m到直線的距離,即過點m向已知直線作垂線，設垂足為n，則垂線段mn的長即是所求的點到直線的距離。

方法一：求出過點m且與已知直線ax

by

c=0（a、b均不為零）垂直的直線方程，而後聯立方程組，求出垂足n點的坐標，然後利用兩點間的距離公式求出點到直線的距離。

方法二：過點m分別作垂直於兩坐標軸的直線，且交已知直線分別於c、d兩點，三角形mcd為直角三角形，點到直線的距離即是直角三角形mcd斜邊上的高。而c、d兩點的坐標較易求解，利用平行於坐標軸的兩點間的距離公式，可得到兩直角邊mc、md的長度，再利用勾股定理求出斜邊的長，最後利用等面積法求出點到直線的距離.

點到直線的距離就是點到直線的垂線段的長度。

已知直線ax＋by＋c＝0，與其垂直的直線是bx＋ay＋d＝0（a，b，c是已知，d是未知），將點M坐標代入方程二，解聯立方程組得垂足N的坐標，用兩點距離公式求線段的總。

點到直線距離公式的推導如下：

對於點P（x0,y0) 。

作PQ垂直直線Ax+By+C=0於Q 。

作PM平行Y軸，交直線於M；作PN平行X軸，交直線於N 。

設M（x1，y1) 。

x1=x0,y1=(-Ax0+C)/B。

PM=|y0-y1|=|y0+(Ax0+C)/B|=|(Ax0+By0+C)/B| 。

同理，設N(x2,y2)。

y2=y0,x2=(-By0+C)/A。

PN=|(Ax0+By0+C)/A| 。

點到直線距離公式推導思路如下：

求出直線的斜率k (我們假設這條直線不是平行於坐標軸的),然後與它垂直的直線斜率是-1/k,因此可以求出過已知點與直線|垂直的那條直線12(點斜式，然後求和12的交點，交點坐標和已知點的間線段的距離就是點到直線的距離。

直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。點到直線的距離叫做垂線段。點到直線距離是連接直線外一點與直線 上各點的所有線段中，垂線段最短，這條垂線段的長度。目標在於通過對點到直線距離公式的推導,提高學生對數形結合的認識，加深用“計算'來處理“圖形”的意識。

以下是點到直線距離的七種推導方式：

1、向量法：設直線上一點為A，直線的方向向量為$\vec{n}$，點P到直線的距離為d，則$\vec{AP} = \vec{v}$，垂線段PA在$\vec{n}$上的投影為$h$，則有：

$\vec{AP} = \vec{v} = \vec{h} + \vec{u}$

其中$\vec{h} = h \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$為$\vec{n}$上的投影向量，$\vec{u}$為$\vec{n}$垂直的向量。

由於$\vec{AP}$在$\vec{n}$上的投影為0，因此$\vec{v}$與$\vec{n}$垂直，即：

$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$

化簡得：

$d = |\vec{h}| = |\vec{AP} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}|$

2、坐標法：設直線方程為$ax+by+c=0$，點P的坐標為$(x_0, y_0)$，則點P到直線的距離為：

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

3、參數方程法：設直線上一點為$(x_1, y_1)$，方向向量為$(p, q)$，點P的坐標為$(x_0, y_0)$，則點P到直線的距離為：

$d = \frac{|(x_0-x_1)q - (y_0-y_1)p|}{\sqrt{p^2+q^2}}$

4、三角形面積法：設點P到直線的距離為d，點A、B為直線上兩個不同的點，則由於三角形PAB和高重合，因此有：

$d = \frac{2S_{\triangle PAB}}{AB}$

其中$S_{\triangle PAB}$為三角形PAB的面積，$AB = \sqrt{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2}$。

5、單位向量法：設直線上一點為A，方向向量為$\vec{n}$，點P到直線的距離為d，則有：

$d = |\vec{AP} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}|$

將$\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$記為$\vec{u}$，則有：

$d = |\vec{AP} \cdot \vec{u}|$

設$\vec{OA}$為直線上一點到原點的向量，$\vec{OP}$為點P到原點的向量，則有：

$\vec{AP} = \vec{OP} - \vec{OA}$

將其代入到$d$的表達式中，得：

$d = |\vec{OP} \cdot \vec{u} - \vec{OA} \cdot \vec{u}|$

將$\vec{OA} \cdot \vec{u}$記為$k$，則有：

$d = |\vec{OP} \cdot \vec{u} - k|$

由於$\vec{u}$為單位向量，因此有：

$|\vec{u}| = 1$

將其代入上式，得：

$d = |\vec{OP} \cdot \vec{u} - k| = \frac{|\vec{OP} \cdot \vec{n} - k|}{|\vec{n}|}$

6、垂線段法：設點P到直線的距離為d，點A、B為直線上兩個不同的點，則將PA、PB和AB三條邊的長度設為a、b、c，則由勾股定理得：

$a^2 = d^2 + b^2$

$b^2 = d^2 + c^2$

將兩式相減，得：

$a^2 - b^2 = c^2$

將$c = \sqrt{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2}$代入，得：

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

7、列式法：設點P到直線的距離為d，點A、B為直線上兩個不同的點，則直線的一般式方程為：

$Ax + By + C = 0$

將點P的坐標代入上式，得：

$Ap_x + Bp_y + C = 0$

將$p_x$、$p_y$表示為$\frac{1}{2}(x_A+x_B)$和$\frac{1}{2}(y_A+y_B)$的形式，代入上式，得：

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$