左極限=lim(x→0-)x^a*sin(1/x)=0, 則a>0;

右極限=lim(x→0+)x^a*sin(1/x)=0，則a>0;

所以，當a>0時，函數連續。

要使f(x)可導，因為f'(0)=0;

所以f'(+/-0)=0;

即f'(x)=ax^(a-1)sin(1/x)+x^a*cos(1/x)*(-1/x^2)

=x^(a-2)[axsin(1/x)+cos(1/x)];

當x→+/-0時，axsin(1/x)→0, |cos1/x|<=1;

當且僅當a-2>0時，即a>2時，f'(+/-0)=0; 函數f(x)可導。

如：掛重物後彈簧的長度y與所掛重物質量x(千克)之間的函數關係式:y=10+2x/3

理由是：

設關係式為：y=kx+b

當x=0時，y=10;當x=1時，y=10+

2/3=32/3

代入y=kx+b中求得：k=2/3,b=10

自變量x的取值範圍:0≤x≤12千克

一個函數在不同的區間上，對應關系不同，這樣的函數叫分段函數。是對應關系不同導致的分段。例如，地鐵的分段計費；出租車的計費等都可以用分段函數來計費。有的函數可以轉化為分段函數，如y=|x|.分段函數可能是連續的，也可能不連續。可能是可導的，也可能不可導。