要證明根號2是一個無理數，可以使用反證法證明。

假設根號2是一個有理數（可以表示為分數形式：a/b ，其中a和b為整數且b不為0，且a和b沒有公約數）。根據有理數的定義，可以假設分數 a/b 已經化簡，即a和b沒有公約數。

然後，將等式兩邊平方，得到2 = (a^2)/(b^2)。這樣，我們就得到了另一個分數 a^2/b^2，其中 a^2 和 b^2 仍然是整數。

根據數學的基本定理，一個整數的平方要麼是偶數，要麼是奇數。因此，如果a^2 是偶數，那麼根據等式左邊是2，b^2 必須是奇數。但是，奇數除以2是不可能得到整數的。

同樣地，如果 a^2 是奇數，那麼根據等式左邊是2，b^2 必須是偶數。但是，整數除以2仍然是一個整數，所以 b^2 必須是一個偶數。

由於整數的平方只能是偶數或奇數，而等式右邊是2，就產生了矛盾。因此，我們可以得出結論：假設不成立，根號2 不是一個有理數，即根號2 是一個無理數。

這樣，我們證明了根號2是一個無理數。

反證法

假定√2是有理數，即√2 = p/q，在這裡p和q是沒有公約數的正整數（沒有除1以外的其它正整數公因子），于是 p = √2q ，或p2 = 2q2因為p2是個整數的2倍，可知p2是個偶數，從而p必定是偶數。令p=2r，于是前面的等式成為4r2=2q2，或q2=2r2，可知q2是個偶數，從而q必定是偶數。由於p、q都是偶數，它們有一個公約數2，這與最初的假設p,q是沒有公約數的正整數相矛盾。于是，由√2是有理數的假定引出了不可能的情況，因而這個假定必然是不對的。

證明：假設√2是有理數。那麼可用互質的兩個數m、n來表示√2。 即√2=n/m。 那麼由√2=n/m可得， 2=n^2/m^2，即n^2=2*m^2 因為n^2=2*m^2，那麼n^2為偶數，則n也為偶數。 則可令n=2a，那麼(2a)^2=2*m^2， 化簡得2a^2=m^2，同理可得m也為偶數。 那可令m=2b。 那麼由m=2b，n=2a可得m與n有共同的質因數2，即m和n不是互質的兩個數。 所以假設不成立。 即√2是有理數不成立，那麼√2是無理數。