為了求微分方程的通解，需要先確定微分方程的階數，然後根據階數選擇相應的解法。

以一階常微分方程為例，設微分方程為 dy/dx=f(x,y)，則可以使用分離變量法求解。具體步驟如下：

將方程中的所有 y 都移到方程的一邊，x 都移到方程的另一邊，得到 dy/f(y)=dx。

對方程兩邊同時積分，得到 ln|f(y)|=x+C，其中 C 是常數。

對方程兩邊同時取指數，得到 |f(y)|=e^(x+C)=e^Ce^x，再根據 |f(y)|=f(y)（因為 f(y) 總是非負的），得到 f(y)=Ae^x，其中 A=e^C 是常數。

將得到的 f(y) 帶入原方程，得到 dy/dx=Ae^x，將其化簡得到 y=(Ae^x)+B，其中 B 是常數。

因此，微分方程的通解為 y=(A*e^x)+B，其中 A 和 B 是常數。

由於通解中帶有一些不確定的常數，我們常常要根據實際的情況來加強約束來得到這些常數。

比如我們前面的例子，一個函數的圖像的任意一點的斜率，等於這個函數在那一點上的x坐標值。光憑借這個條件，我們只能解出y=0.5x²+C的通解。

但如果要進一步解出C，我們就需要加強約束，比如一個通過原點函數的圖像的任意一點的斜率，等於這個函數在那一點上的x坐標值。

這樣我們只能令C=0，得出y=0.5x²。這裡面不再有未知常數，我們稱之為微分方程的特解。

求滿足初始條件的特解時，不是先求出整個的通解再代入初始條件，而是相反。往往是定出解的結構，用與微分方程對應的微分方程的通解作為通解的一部分，再找出本方程的一個特解，把二者相加求得本微分方程的通解。

微分方程的特解是指滿足微分方程的一個解，它有很多個。滿足初始條件的特解是指既滿足微分方程，又滿足初始條件的那一個特解。具體特解的求法，各不相同，有的假設成具有對應通解的形式，有的再加上某一函數，有的假設為一定形式。具體情況具體分析。

(1)y=x (2)t^2+1=0 t=+-i y''+y=0=>y=Asinx+Bcosx y=0.5exp(x)特解y=0.5exp(x)+Asinx+Bcosx結合歐拉折線和線素場，我們就可以開始分析通解、特解和所有解了。4 通解、特解和所有解4.1 通過歐拉折線來觀察解我們通過來繼續講解。這個微分方程的通解還是很容易求的，就是：知。

因為M個變量，需要M個個約束條件才能全部解出。由此，在變量相同的條件下，多一個約束條件f(y),就可以多確定一個解，此解就稱為【特解】。求微分方程通解的方法：方求一階微分方程通解和特解注：±C也可看作新的C 一、把y'換成dy/dx,dy與y放等式左邊，dx與x放等式右邊，對兩邊同時求不定積分。對於求特解的，還要把給出的點帶入。

微分方程的通解和特解：



微分方程的通解中一般包含任意常數，微分方程的特解一般包含特定常數。

例如xy'=8x^2的特解是y=4x^2，xy'=8x^2的通解是=4x^2+C，C是任意常數。



計算微分方程的通解有許多方式，例如特徵線法，以及特殊函數法和分離變量法。對於非齊次方程來說，任何一個非齊次方程的特解，加上一個齊次方程的通解，能夠得出非齊次方程的通解。

微分方程的研究來源非常廣泛，擁有較長時間的歷史。牛頓以及萊布尼茨創造微分，以及積分的運算的時候，指出了兩者的互逆性，這是如何解決最簡易的微分方程y'=f(x)，如何求解的方法。當大眾用微積分去研究幾何學以及物理學，還有力學問題的時候，微分方程不斷湧現，如井噴一般。



牛頓已經解決了二體問題，在太陽的引力作用下，一個單一的行星是怎樣運動的。牛頓把這兩個物體都進行理想化設想，作為質點，得出三個未知函數的三個二階方程組，通過簡單的運算證明，能夠變為平面問題，也就是兩個未知函數的兩個二階微分方程組，用名為首次積分的計算方法，解決瞭如何求解。