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1 # 蘇格拉底沒有底哎
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2 # 墨心人
向量內積的坐標公式可以通過向量的數量積的定義和向量坐標的乘法規則來推導。假設存在兩個向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$和$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，則它們的數量積定義為：
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}$$
其中，$|\vec{a}|$和$|\vec{b}|$分別表示向量的模，$\theta$表示夾角。
由於向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的坐標分別為$(a_1,a_2,a_3)$和$(b_1,b_2,b_3)$，因此它們的模分別為：
$$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$
$$|\vec{b}|=\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}$$
同時，由余弦定理可知：
$$\cos{\theta}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$
因此，將上述公式代入數量積的定義中可以得到：
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}\cos{\theta}$$
將上式中的$\cos{\theta}$用向量坐標表示出來，即：
$$\cos{\theta}=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$$
代入上式中可以得到向量內積的坐標公式：
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$
因此，向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的數量積可以直接用它們的坐標分量進行計算。
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3 # 小茶壺綠油油
回答如下：設向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 分別在標準基下的坐標為 $\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 和 $\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$，則向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的內積為：
$$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n$$
推導：
我們知道向量的坐標表示法是指，將向量 $\boldsymbol{a}$ 在一個標準基 $\{\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2},\cdots,\boldsymbol{e_n}\}$ 下展開，得到它的坐標 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$。同樣，向量 $\boldsymbol{b}$ 在同一組標準基下的坐標為 $(b_1,b_2,\cdots,b_n)$。因此，我們可以將向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 分別表示為：
$$\boldsymbol{a}=a_1\boldsymbol{e_1}+a_2\boldsymbol{e_2}+\cdots+a_n\boldsymbol{e_n}$$
$$\boldsymbol{b}=b_1\boldsymbol{e_1}+b_2\boldsymbol{e_2}+\cdots+b_n\boldsymbol{e_n}$$
則向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的內積為：
$$\begin{aligned}\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}&=(a_1\boldsymbol{e_1}+a_2\boldsymbol{e_2}+\cdots+a_n\boldsymbol{e_n})\cdot(b_1\boldsymbol{e_1}+b_2\boldsymbol{e_2}+\cdots+b_n\boldsymbol{e_n})\\&=a_1b_1\boldsymbol{e_1}\cdot\boldsymbol{e_1}+a_2b_2\boldsymbol{e_2}\cdot\boldsymbol{e_2}+\cdots+a_nb_n\boldsymbol{e_n}\cdot\boldsymbol{e_n}\\&=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\end{aligned}$$
其中第二步用到了內積的分配律和線性性質，以及基向量之間的內積為 $1$ 或 $0$ 的事實。因此，向量的內積可以用它們的坐標表示來計算。
回覆列表
是： (A·B)=|A||B|cosθ ，其中A、B為向量， θ為A與B的夾角，|A|和|B|分別為A和B的長度。
具體地，若A和B的坐標分別為 (x1,y1,z1) 和 (x2,y2,z2)，則向量A和B的內積為 A·B=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)。
這是因為，我們可以將向量A和B分別表示為以原點為起點的坐標點 (x1,y1,z1) 和 (x2,y2,z2) 所在的線段，然後求出這兩條線段之間的夾角θ及其餘弦值cosθ，再用向量模長的定義|A|=√(x1²+y1²+z1²)和|B|=√(x2²+y2²+z2²)進行計算，便可得到向量內積的坐標公式。