直接迭代會得到一個通項表達式，是根號裡面套根號加2的形式，嵌套n-1次，針對這個數列的問題應該是求當n趨近於無窮時數列是否有極限，如果有，極限是什麼？這個數列的極限應該是2，你可以用單調有界去做

1 特徵根求數列通項公式是一種用於求解線性遞推數列的公式，可以幫助我們簡便地求出數列的通項公式。
2 具體地，我們可以根據數列的遞推式，構造出它的特徵方程，然後求出特徵方程的根（即特徵根），最後根據特徵根的值，得出數列的通項公式。
3 舉個例子，對於遞推數列an = 2an-1 - an-2，其特徵方程為x^2 - 2x + 1 = 0，解得其特徵根為1，因此數列的通項公式為an = A + Bn，其中A、B為常數，根據初值條件即可確定A、B的值。
總之，特徵根求數列通項公式是一種非常實用的數學工具，可以幫助我們高效地求解各種遞推數列的通項公式。

解決這個問題，我們需要以下前置知識：

如果你對以上知識並不了解，可以自行查閱資料。

首先觀察題目：

顯然，該遞推數列有一個不動點，存在通項公式。

為了使該數列成為易於求解的齊次形式，我們構造數列 ，滿足：

並且為了運算簡單，我們令 ，則有

我們把遞推式中的 用 進行代換，可以得到 ，兩邊同乘 ，得到

很顯然，可以通過特徵方程求解

由 的特徵方程 ，我們得到兩個不等特徵根： ，于是 ，又有 ，帶入解得 ，至此我們得到 的通項公式：

根據定義，我們得到：

綜上所述，我們得到 的通項公式為：

特別感謝 @CZA 在群裡提供的齊次思路。