解題步驟：

第一步 確定函數的定義域；

第二步 求出函數的單調區間；

第三步 確定函數的最值.

例 已知函數 ，求函數在區間 上的最值.

分析：運用單調性的定義證明，注意取值、作差、變形、定符號和下結論幾個步驟；運用單調性的結論，即可得到最值.

（1）證明：任取 ，且 ，

則

由於 ，則 ， ， ，

則 ，即

所以函數 在區間 上為減函數.

（2）由（1）可知， 在區間 上遞減，

則 最大，最大值為 ， 最小，最小值為

單調性求法一是求導法，二是定義法，三是圖象法。求最值常見方法一觀察法，二配方法，三單調性法，四圖像法，五換元法，六基本不等式，七數形結合法，八利用有界性，九反函數法，十求導法。

1. 定義法

根據函數單調性的定義，在這裡只闡述用定義證明的幾個步驟:

①在區間D上，任取 , ，令 ;

②作差 ；

③對 的結果進行變形處理(通常是配方、因式分解、有理化、通分，利用公式等等) ；

④確定符號 的正負；

⑤下結論，根據“同增異減”原則，指出函數在區間上的單調性。

2. 等價定義法

設函數 的定義域為D，在定義域內任取 , ，且 ，

若 >0，則函數單調遞增；若有

3. 圖象觀察法

在單調區間上，增函數的圖象是上升的，減函數的圖象是下降的。因此，在某一區間內，一直上升的函數圖象對應的函數在該區間單調遞增。