設這四點依次是A,B,C,D，對角線AD與BC相交於E1.對角互補，比如角A=角C2.弦所對圓周角相等，比如角CAD=角CBD3.相交弦定理，AE*ED=CE*EB4.托勒密定理，AD*CB=AC*DB+AB*CD

托勒密定理是指在一個四邊形中，對角線的平方等於相鄰兩邊的平方和加上另一些兩側的乘積之積，即：

AC² = AB² + BC² + CD² + DA² - 2AB×BCcos∠ABC

其中，AB、BC、CD、DA 表示四邊形的四條邊，AC 表示對角線的長度，∠ABC 表示對角線所夾的角，cos∠ABC 表示該角的餘弦值。

將上式變形，可得：

2AB×BCcos∠ABC = AB² + BC² + CD² + DA² - AC²

這個式子可以被寫成向量形式，記 A、B、C、D 為四邊形的四個頂點的向量，則有：

|AB| = |B - A|

|BC| = |C - B|

|CD| = |D - C|

|DA| = |A - D|

|AC| = |C - A|

根據向量的內積公式，可以得到：AB·BC = |AB|×|BC|×cos(∠ABC)，即：

AB·BC = (B - A)·(C - B) = BCx(Bx - Ax) + BCy(By - Ay)

其中，Ax、Ay、Bx、By、Cx、Cy 分別是 A、B、C 的橫、縱坐標。

將上式帶入托勒密定理的向量形式中，得到：

2(B - A)·(C - B) = |AB|² + |BC|² + |CD|² + |DA|² - |AC|²

即：

2(Bx - Ax)(Cx - Bx) + 2(By - Ay)(Cy - By) = |AB|² + |BC|² + |CD|² + |DA|² - |AC|²

這就是托勒密定理的向量形式。