柯西不等式是數學中的一個重要不等式，廣泛應用於數學分析、線性代數、概率論等領域。下面是柯西不等式在高中數學中6個基本題型的介紹：

等式部分已知，求最值：當柯西不等式取等號時，稱為柯西等式，並且此時各向量之間有固定的比例關系，通過這個關系可以求出最大或者最小值。

根據柯西不等式判斷是否存在解：當給定一組向量時，需要判斷它們是否滿足柯西不等式，從而決定是否存在某些未知數或範數的取值。

求解向量長度的範數：如果給定一組向量，並且知道它們之間的內積，可以通過柯西不等式求出每個向量的長度。

證明某個式子或不等式：通過構造合適的向量組，運用柯西不等式來驗證某個式子或不等式是否成立。

計算誤差的範數：對於數值計算時的誤差，在計算機科學和數值分析領域，可以利用範數來衡量誤差的大小，通過柯西不等式來計算誤差範數。

解決幾何問題：柯西不等式在解決幾何問題中也有廣泛的應用，如計算兩個向量之間的夾角、求解平面圖形的面積和體積等。

柯西不等式的6個基本題型如下：

平方和不等式：當a，b>0時，(a+b)2≥a2+b2(a+b)^2 \geq a^2+b^2(a+b)2≥a2+b2。

積和不等式：當a，b>0時，ab≤a+b2\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}ab≤2a+b。

平方和積不等式：當a，b>0時，(a+b)(a+b)≥a2+b2(a+b)(a+b) \geq a^2+b^2(a+b)(a+b)≥a2+b2。

平方和差不等式：當a，b>0時，(a−b)2≤a2−b2(a-b)^2 \leq a^2-b^2(a−b)2≤a2−b2。

積和差不等式：當a，b>0時，a−b≤a−b≤a+b\sqrt{a}-\sqrt{b} \leq \sqrt{a-b} \leq \sqrt{a}+\sqrt{b}a−b≤a−b≤a+b。

一般形式：設a，b，c，d均為實數時，(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a^2+b^2)(c^2+d^2) \geq (ac+bd)^2(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2。