在複變函數理論中，收斂半徑和收斂域是用來描述一個冪級數的收斂性質的重要概念。
給定一個冪級數$\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$，其中$a_n$是係數，$z$是複數。
1. 收斂半徑的求法：
根據冪級數的收斂定理，冪級數在一個圓盤內絕對收斂，在圓盤外發散。由此可以得到，收斂半徑$r$是一個非負實數，滿足以下條件：
- 若冪級數在$|z| < r$的圓盤內絕對收斂，則$r$是該冪級數的收斂半徑；
- 若冪級數在$|z| > r$的圓環外發散，則$r$是該冪級數的最大收斂半徑。
可以使用數學工具，如柯西-阿達瑪公式或比值判別法來求解收斂半徑。
2. 收斂域的求法：
收斂域是指冪級數在複平面上所有收斂的點的集合。根據定義，收斂域可以是一個圓盤、一個圓環、一個線段、一條線、一條曲線或者整個複平面。
根據求得的收斂半徑$r$，可以得到不同情況下的收斂域：
- 當$r=0$時，收斂域只包含原點；
- 當$r=\infty$時，收斂域為整個複平面；
- 當$0 < r < \infty$時，收斂域是一個圓心在原點，半徑為$r$的圓盤。
在實際計算中，需要結合具體的冪級數表達式和收斂理論進行分析和計算，常常需要運用數學分析和複變函數的相關知識。
在複變函數理論中，收斂半徑和收斂域是用來描述一個冪級數的收斂性質的重要概念。
給定一個冪級數$\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$，其中$a_n$是係數，$z$是複數。
1. 收斂半徑的求法：
根據冪級數的收斂定理，冪級數在一個圓盤內絕對收斂，在圓盤外發散。由此可以得到，收斂半徑$r$是一個非負實數，滿足以下條件：
- 若冪級數在$|z| < r$的圓盤內絕對收斂，則$r$是該冪級數的收斂半徑；
- 若冪級數在$|z| > r$的圓環外發散，則$r$是該冪級數的最大收斂半徑。
可以使用數學工具，如柯西-阿達瑪公式或比值判別法來求解收斂半徑。
2. 收斂域的求法：
收斂域是指冪級數在複平面上所有收斂的點的集合。根據定義，收斂域可以是一個圓盤、一個圓環、一個線段、一條線、一條曲線或者整個複平面。
根據求得的收斂半徑$r$，可以得到不同情況下的收斂域：
- 當$r=0$時，收斂域只包含原點；
- 當$r=\infty$時，收斂域為整個複平面；
- 當$0 < r < \infty$時，收斂域是一個圓心在原點，半徑為$r$的圓盤。
在實際計算中，需要結合具體的冪級數表達式和收斂理論進行分析和計算，常常需要運用數學分析和複變函數的相關知識。