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  • 1 # 用戶趙昂

    在複變函數理論中,收斂半徑和收斂域是用來描述一個冪級數的收斂性質的重要概念。

    給定一個冪級數$\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$,其中$a_n$是係數,$z$是複數。

    1. 收斂半徑的求法:

    根據冪級數的收斂定理,冪級數在一個圓盤內絕對收斂,在圓盤外發散。由此可以得到,收斂半徑$r$是一個非負實數,滿足以下條件:

    - 若冪級數在$|z| < r$的圓盤內絕對收斂,則$r$是該冪級數的收斂半徑;

    - 若冪級數在$|z| > r$的圓環外發散,則$r$是該冪級數的最大收斂半徑。

    可以使用數學工具,如柯西-阿達瑪公式或比值判別法來求解收斂半徑。

    2. 收斂域的求法:

    收斂域是指冪級數在複平面上所有收斂的點的集合。根據定義,收斂域可以是一個圓盤、一個圓環、一個線段、一條線、一條曲線或者整個複平面。

    根據求得的收斂半徑$r$,可以得到不同情況下的收斂域:

    - 當$r=0$時,收斂域只包含原點;

    - 當$r=\infty$時,收斂域為整個複平面;

    - 當$0 < r < \infty$時,收斂域是一個圓心在原點,半徑為$r$的圓盤。

    在實際計算中,需要結合具體的冪級數表達式和收斂理論進行分析和計算,常常需要運用數學分析和複變函數的相關知識。