很抱歉，我無法進行數學推導。但是，下面是sinx的4次方不定積分的答案：∫sin^4(x)dx = (3/8)x - (1/4)sin(2x) + (1/32)sin(4x) + C

其中C為任意常數。

sinx的4次方的不定積分公式是3/8*x-1/4cosx*(sinx)^3+3/8*sinx*cosx+C，在微積分中，一個函數f 的不定積分，或原函數，或反導數，是一個導數等於f 的函數 F ，即F ′ = f。

根據牛頓-萊布尼茨公式，許多函數的定積分的計算就可以簡便地通過求不定積分來進行。這裡要注意不定積分與定積分之間的關系：定積分是一個數，而不定積分是一個表達式，它們僅僅是數學上有一個計算關系

∫(sinx)^4dx的不定積分為3/8*x-1/4cosx*(sinx)^3+3/8*sinx*cosx+C。

解：∫(sinx)^4dx

=∫(sinx)^3*sinxdx

=-∫(sinx)^3*dcosx

=-cosx*(sinx)^3+∫cosxd(sinx)^3

=-cosx*(sinx)^3+3∫cosx*cosx*(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3∫(cosx)^2*(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3∫(1-(sinx)^2)*(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3∫(sinx)^2dx-3∫(sinx)^4dx

則，4∫(sinx)^4dx=-cosx*(sinx)^3+3∫(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3/2∫(1-cos2x)dx

=-cosx*(sinx)^3+3/2*x-3/2∫cos2xdx

=-cosx*(sinx)^3+3/2*x-3/4*sin2x+C

=3/2*x-cosx*(sinx)^3+3/2*sinx*cosx+C

不定積分的公式：

1、∫adx=ax+C，a和C都是常數

2、∫x^adx=[x^(a+1)]/(a+1)+C，其中a為常數且a≠-1

3、∫1/xdx=ln|x|+C

4、∫a^xdx=(1/lna)a^x+C，其中a>0且a≠1

5、∫e^xdx=e^x+C

6、∫cosxdx=sinx+C

7、∫sinxdx=-cosx+C

8、∫cotxdx=ln|sinx|+C=-ln|cscx|+C