對角矩陣就是除主對角線外,其它位置都為零的矩陣.或者等價的定義為滿足A'=A的矩陣

對角矩陣只要求對角線以外的位置都為零,對角線上是否出現零沒有關系,全零矩陣也是對角矩陣.一個n階矩陣a11=1 其餘位置都為0的矩陣也是對角矩陣.

矩陣可對角化分為兩種,一種是相似對角化,也就是存在可逆矩陣X,使得X^(-1)AX為對角矩陣.另一種是合同對角化.也就是存在可逆矩陣C,使得C'AC為對角矩陣.

我們一般所說的對角化指相似對角化

不是所有的矩陣都可以相似對角化,但任何矩陣都可以相似化為若爾當標準型.

所有的矩陣都可以合同對角化.

在剛學習哈密頓-凱萊定理時,很多學生認為是想當然成立的,其實不然,這裡關鍵的原因在於A是一個矩陣,不是一個數,所以是不能直接代入的,矩陣和數有很多不同,運算和性質都不同.不能想當然的認為對數成立的式子對矩陣也成立.要另行對矩陣的情況重新進行嚴格的證明.