首先，無窮個無窮小的乘積並不一定為無窮小。例如，考慮函數f(x)=1/x，顯然f(x)是一個無窮小函數，但是如果我們取x為正整數，那麼無窮個無窮小的乘積f(1)×f(2)×f(3)×…×f(n)可以表示為：

f(1)×f(2)×f(3)×…×f(n)=1/1×1/2×1/3×…×1/n，

根據調和級數的性質，顯然無窮個無窮小乘積的極限是不為0的，也就是說，無窮個無窮小的乘積並不一定是無窮小。

對於一個更抽象的情況，考慮無窮個無窮小數的乘積a1×a2×a3×…，根據極限的定義，如果這個乘積的極限為0，那麼對任意正數ε，存在一個正整數N，使得當n>N時，有：

|a1×a2×a3×…×an|<ε

也就是說，乘積的絕對值可以任意接近於0。但是，由於這裡有無窮多個因子，因此對於任意給定的N，乘積的後面還有無窮多項，有可能會產生一個“積零項”，使得整個乘積不再接近於無窮小。具體來說，如果我們把這個乘積的後面無窮多項全部乘起來，得到的乘積為：

an+1×an+2×an+3×…

這個乘積不一定為0，也不一定是無窮小。因此，雖然這個乘積看起來像是無窮小的乘積，但是實際上並不一定是無窮小。

無限個無窮小即可認為是無限個趨近於0的函數，由於每個無窮小趨近於0的速度不一樣，所以在某一時刻，都有無限個無窮小還沒來得及無窮小，也就是說不夠小，那麼它們的乘積可能會足夠小，但不屬於無窮小

無限個無窮小的數的乘積不一定是無窮小，它的極限可能為任意實數。因為即使每個因子都趨近於零，但是由於無窮個無窮小的連續性質，可能使這一乘積趨近於無窮大。

一個例子是冪函數，其中指數小於一的冪函數都可以看作是無窮個無窮小的乘積，然而當指數小於一時，它們的極限不為零。

1.無窮小不是一個數，而是在某個微小鄰域內極限值為0的函數

2.無限個無窮小，不是很多個無窮小，很多個到無窮個是量變到質變的過程。

參考有限個無窮小之積仍然是無窮小的證明，可以發現，當從有限到無限的時候，我們無法對α進行定義，故而也找不到符合條件的鄰域使得無窮個無窮小乘積為無窮小成立。

你也可以這樣理解，這無窮個無窮小中並不全是同階的無窮小，而無窮小的階表徵了無窮小趨近於0的快慢，故而在任意時刻，都會存在無窮多個無窮小還沒來得及達到0，故而總乘積也不一定是無窮小。

不是無窮小。
因為無限個無窮小的數相乘並不一定會趨向於0，有可能會趨向於無窮大或是其他的值，而無窮小的定義是其趨向於0，所以無限個無窮小的數的乘積並不能被定義為無窮小。
這個問題其實可以通過極限的定義來。
如果一個數列a_n的極限為A，另一個數列b_n的極限為B，那麼當n趨向於無窮大時，a_n*b_n的極限就是A*B。
如果一個數列a_n的極限為0，另一個數列b_n的極限為無窮大，那麼當n趨向於無窮大時，a_n*b_n的極限就是無窮大或是無窮小。
因此，無窮個無窮小數的乘積並不一定是無窮小，其極限可能為無窮大或是其他的值。