無理數又不是變數，又不會不停的變化，是一個固定的數值。提問者估計連無理數的基本概念都沒搞清楚吧。

無理數，也稱為無限不迴圈小數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會迴圈。 常見的無理數有非完全平方數的平方根、π和e等。

無理數是一個確定的數，它的數軸上能用一個確定位置的點表示。

在實數的數集中，無理數的佔比接近100%，而有理數的佔比接近0%。至於怎麼證明，我有一個絕妙的證明，可惜手機打不出數學符號，我只能告訴你們結論。

我看了這個問題的其它回答，一些民科的回答讓人忍俊不禁，各種奇談怪論都有，方法論，哲學論都出來了，甚至還懷疑數學基礎出了問題，而且長篇大論。拜託，你們翻一下高中數學書，看看關於實數的章節好不好，這些都只是高中知識而已。

至於為啥我要把一句話能解答的回答寫這長，就是不寫長，回答就推不出去。

問：PI是無理數，那圓的周長也是無理數，但是圓的周長是固定的，何解？

答：

首先，這個問題問的不好。問題暗含了假設，對問題本身的回答，還不如對其中暗含的假設的分析更重要。這種問題通常都不好。

其次，圓的周長不一定是無理數。圓周長和半徑的比值是無理數，那麼圓周長和半徑有可能是：

A. 有理數和無理數。

這種情況下，半徑=q/p/PI，p和q是任意不可約正整數，比如，半徑=3/2/PI。

這種情況下，半徑=q/p。

C. 無理數和無理數。

這種情況下沒什麼可說的。

最後，無理數也是固定的數。

固定的無理數也可以畫成圓，比如以1為半徑用圓規畫圓，周長就是PI，是個無理數。

固定的無理數也可以畫成線段，比如做一個直角三角形，斜邊長為2，一條短直角邊為1，那麼第三條邊就是根號3。根號3是個無理數。

這就基本上釐清了你的問題。圓周長未必是無理數，就算是無理數，也是可以一段固定的長度表示的。

最後問一個問題，怎麼畫出一個長度等於PI乘以某個有理數的線段呢？

什麼是數學？數學是對人類經驗的經驗。

比方說，為什麼1+1=2，是因為2=1+1，如果我事先告訴你，當你問到我的時候，我會回答3=1+1，那麼當我問你：

哎呀，請你預測一下，我會怎麼回答1+1=多少的？

那麼，任何一個人都會回答：這當然是等於3啊。

這種對於經驗的規範性，在現實世界中無比重要，實質上就是一種語言。

它能確保輸入和輸出的一致性。

比方說：我今天通過練習，學會了如何製作蛋糕，那麼，我就可以告訴你。

蛋糕=先放麵粉，放蛋，放糖，放牛奶，接著放進微波爐裡煮。

我就可以列出一連串的步驟，這些步驟全然等價於那個蛋糕。

顯然，讓任何一個人學會怎麼做這個蛋糕，就顯得無比重要，要想學會怎麼做蛋糕，那當然應該預測我說蛋糕的時候，我的輸入或者輸出是什麼。

我們經常聽見一些民科，指責這種定義，甚至跳出來另起茅廬，想搞個大新聞。

這實質上是無比愚蠢的行為。

一英寸是三粒小麥的長度，這只是大家喜歡的定義，方便起見，是大家對其他人的經驗的經驗。

你可以將π定義為1，這也是沒有任何所謂的事情。

那麼，回到你的問題，為什麼π會產生一個無理數？道理很簡單，π的定義是，距離一個點一定距離的點的集合的長度，和這個距離的兩倍之間的比值。

由於”點"在現實世界實質上是不存在的，在量子力學系統中，當你無限精確一個點的位置的時候，這種觀測意味著輸入能量，也就會產生了新的粒子。

其結果是，圓實質上是不存在的，現實世界都是某種多邊形。

當你這麼定義圓周率的時候，事實上將會給這個系統不斷地輸入物質和能量，進而產生一個越來越大的比值。

因此，圓周率也就變成了一個無理數，因為它是一種讓一個系統不斷產生新的資料的方法。

無理數的“存在”，其實就是“不確定”的存在，其實也是“認知不徹底”的存在，須知：數學也好，數字也罷，它們都是對於生活現象的寫真，而，任何一個生活現象都是客觀真實，條件下真實的，它們並不是“不確定”存在著的，由此，無理數也好，“不確定”也罷，其實都不是真實存在的，它們不過是因為人們的認知侷限和狹隘所人為攢出來的一個“存在”。那麼，摻入了“不確定因素”的認知，能夠是真實飽滿的嗎？答：當然不是了，摻入了無理數的計算結果，能夠是真實飽滿成立的嗎？答：當然不是。

須知，一切的存在，一切的過程，一切的結果，都是有章可循，環環入扣的，是不存在“不確定因素”的，只不過是因為觀察者一方認知的膚淺或狹隘，而得出來近似或“尚有不確定可能”的結論。

結論：無理數，並不真實，它是人類因認知或解析缺陷而人為攢出來的一個“假性”存在。依據這種假性存在而得出的結論，也一定是假性的，充其量只是“比較接近真實”，這其實是背離了“數學是真實生活現象寫真”的本質的。

答：圓周率雖然是無理數，但是圓周率始終是實數，任何一個實數在實軸上都是唯一確定的，在實數層面，無理數本質上與有理數並無區別，所以平面內固定半徑的圓周長也是唯一確定的。

我們最初在遇到無理數時，有些人難以理解無理數，無理數在十進位制中是無限不迴圈的，當然我們也可以證明，無理數在任何整數進位制下都是無限不迴圈的，圓周率就是一個典型的無理數，圓周率的無理性在1761年首次被證明。

對於無限不迴圈這個概念，部分人會陷入思維困境，認為“無限不迴圈”是一個變動的數，一個不確定的數，最終認為無理數在數軸上不是確定的，甚至圓的周長也不是固定的。

這個理解是完全錯誤的！

在數學中，只要涉及無限的概念，就很容易出現一些讓人難以理解的結論，這是很正常的事，實數可以分為有理數和無理數，有理數又可以分為整數和非整數。

比如十進位制中的1/3，這是一個無限迴圈小數，屬於非整數，當然也屬於有理數，我們這麼理解，來看這麼幾個數的比較：

1/3=0.33333……

1/6=0.166666……

1/8=0.12500000……

2=2.000000……

對於有理數來說，無論是整數還是非整數，本質上都是無限迴圈小數，只不過整數的小數後面全是“0”的迴圈而已，它們本質上是沒有區別的。

另外一個證據也說明了這點，在十進位制中的無限迴圈小數，有可能換算為其他進位制後，就變成了不迴圈的小數（無限零迴圈不算），比如1/6在十進位制中是無限迴圈的，但是在六進制中就變成了0.1，成了一個不迴圈的小數（零迴圈不算）。

如果理解了這點，我們再用同樣的思維去理解無理數：任何數本質上都可以分為整數部分和小數部分，其中小數部分擁有無窮多個數位，無論是有理數還是無理數，任何一個實數的小數部分都是唯一確定，它確定了這個數在數軸上的位置。

單從這方面看的話，無理數和有理數本質上沒有區別，任何數在實數數域上都是唯一確定的，只不過有理數的小數部分是迴圈的，無理數不迴圈而已。

從無理數和有理數的分佈上看，在數軸上，無理數的個數是不可數的，有理數的個數是可數的，無理數的可數性由黎曼最早證明；這個性質在某種程度上說明了無理數遠遠多於有理數，如果我們在數軸上隨機選取一點，那麼這點對應的數幾乎肯定是無理數。

打個比方好了，田徑場的跑道就可以類似一個圓，我們為了簡化問題，就把它設計成一個圓形的跑道好了，那我問你，這個跑道的長度是多少？有人說跑道嘛，不就是400米？當然不對，你見過的所有跑道，是不是都是內圈跑道比外圈的更短？所以每個跑道的內圈和外圈長度都不一樣所以這個跑道的長度是不一樣的。你只能算內圈和外圈的長度。

那有人就說了，我就取中間那條跑道，甚至中間那條跑道分隔線算行不行？當然可以！但你不要忘了，再小的線，也是有寬度的，那條白線的內徑和外徑也會有極其細微的差別，你會發現，無論這個圓的你把他畫的多細，它的外徑和內徑總有差異。這個差異你可以無限細小下去，但差異不可能消失。

有人說，那為什麼正方形沒有這樣的差異？因為正方形是四個線段接成的，線段的長度是可以計算出來的，因為線段不論是內還是外或者中間，都是平行線，長度都是一樣。

那有人說，我就把一個一米的線段彎成一個圈前後接起來不就是一樣的？這個說法從實際操作上可以做到，但數學上意義是不對的，理論上你把一條線彎了起來長度沒變，但這是因為物理的材料會被壓縮跟拉伸。內側被壓縮了，外側被拉伸了。所以事實上把兩頭接起來後組成圓的那條繩子，跟原來的那條線已經不是同一條線了。

所以總結一下，組成圓的這根“曲線”長度不能和線段相比，它的具體長度只能無限細分接近一個值，但理論上無法計算出絕對值。所以π是個無理數。比如一個周長為1的圓，他實際上是一個無限接近0.9999……無限迴圈的一個無限不迴圈數的圓。

π的無理數性質是由圓的周長與直徑的比值決定的，並不代表圓的周長是不固定的。

無理數最早產生於正方形的對角線與邊長是不可通約的，不能因此說正方形的對角線是不固定的。不過，正方形的對角線可以以開平方的根號形式表達為幾何數，如果以幾何數為度量單位，那麼正方形的邊長就是無理數了。所以，相對幾何數而言，有理數與無理數也是相對的。

π的情況比無理數更糟糕。π無法表達為根式的形式，也無法用一個代數方程表達為代數數的形式。正因為如此，尤拉用π來代表圓周率。π作為超越數，是在數學分析理論建立在完全嚴格性基礎上後，才得到證明的，也就是說π只能以三角函式的無窮級數方式展開，這個級數以π為極限但不可窮盡。

這也說明了圓周與直徑的關係是超越關係，圓周與直徑的比值不可能是有理數，也不可能是無理數，而是超越數；也就是說，圓周與直徑不可能在幾何上等價，也不可能在代數上等價，只能通過無窮級數獲得儘可能的精確。

圓周相對來說，還是一個可積函式，也就是說可以通過弧長微分確定的導函式通過積分求出周長公式；但是橢圓的周長則是不可積函式，只能通過近似計算的方法求周長。

中國古代求一棵樹的直徑，採用的方法是：用繩子繞樹一週後算出繩子的長度，再除以3就得到了樹的直徑，這實際上是將π近似地等於3了。

看了好多的回答，不知道大多數回答者是在開玩笑呢，還是和提出問題的人一樣陷入了對無理數理解的誤區，寫出像校話一樣的答案，這顯然對提問題的人沒有幫助。

誰告訴你圓的周長不能是無理數的？假設我們的手動實驗操作完全沒有誤差，我們可以用一根四米長的繩子圍成一個正方形，再用繩子擷取此正方形對角線的長度，那麼我們就得到了一條根號二米長的繩子，用它來圍成圓，難道不可以嗎？

顯然，題主的問題裡對無理數有個錯誤認識。他認為因為圓的周長是固定的，所以不應該是無理數。這句話裡隱含著“無理數的大小是不固定的”這樣一個錯誤認識。好！下面我們就來分析一下無理數的大小是不是固定的。首先我們從物理實驗入手，初中物理實驗的第一節實驗課的課題是“長度的測量、誤差”，這節課告訴我們，由於刻度尺的精度(最小量程)有限，所以由刻度尺測量長度是有誤差的，當物體邊緣落線落在刻度尺的兩條最小刻度線之間，我們需要估讀最小量程的下一位數字，比如用最小刻度是毫米的尺測出的長度值的最後一位數一定是零點幾毫米，而這個零點幾毫米就是估讀的，因而是不準確的。但是我們測量的不準確不影響物體的長度是一個固定的大小(數值)，只不過我們沒有測準而已。類似的，我們可以在紙上畫一個邊長為一米的正方形(在紙上畫圖就是數學中的實驗操作，所以在忽略誤差的前提下)，此正方形的對角線長度就是標準的根號二，但是，根號二到底是多大呢，我們要比較它和有理數的大小，就要把它變化成無限不迴圈小數，當我們取2位有效值時，它等於1.7，比1.6大，比1.8小；取3位有效值時，它等於1.73，比1.72大，比1.74小；取四位有效值時，它等於1.732，比1.731大，比1.733小，取值位數越多，就越精確。總之，如果我們能有無限長的壽命，我們甚至可以用手開方的土辦法把它的無限小數全部寫出來。所以根號二就是一個大小固定的數。因此，我可以擷取一根長為根號二的繩子圍成圓，則這個圓的周長就是一個無理數。很正常啊！

如果我這樣分析還是不能夠說服你，你反駁說竟然還扯物理和誤差，竟然還忽略誤差，這沒有說服力。那好，上第二種方法。

方法二：使用數軸來解釋。

我們知道任意兩個很接近的有理數之間，仍存在無限多的有理數，反映在數軸上就是，任意兩個很接近的有理數點之間都存在無數多個有理數點，這個性質叫做有理數的稠密性。那麼是不是有理數就把數軸全部佔領了呢？並不是，數學家們發現數軸上的點的數量要比有理數的數量多得多，也就是說數軸上還有無限多的點不能被有理數標記，例如代表根號二、根號三、根號五等的點。所有的有理數竟然不能把數軸上所有的點都標記上，這個性質叫做有理數的不完備性。這個性質表明，在數軸上任意兩個很接近的有理數點之間，不但存在無數個有理數點，還存在無數個無理數點，並且無理數點的數量不比有理數少。那麼，從數軸上看，每一個無理數的大小都是固定的，因為它到原點的距離是固定的。

這也就是說，如果你拿一根長繩子，在不測量長度的前提下隨便擷取一段繩子，那麼這根繩子的長度數值是無理數的可能性不會小於二分子一，這樣的繩子圍成圓，圓周長有一半的可能性就是無理數，沒問題了吧。

我來回答一下，首先要了解一下什麼是圓，圓是到定點定距的點的集合，也就是說，一個圓，是到某個定點（圓心O），固定距離（半徑r），符合這個條件的所有的點圍繞成的一個圖形，從這裡可以看出，組成這個圓的所有點的軌跡和固定距離r一定存在關係，這個關係就是比值π！首先確定π是個無理數！無限的不迴圈小數！那這個數存在嗎？當然存在，這個數在數軸上就是固定的一個點，和1，2，3一樣，在數軸上就是固定存在的點，這個點不會跑來跑去，在數軸上對應唯一的點！所以他的性質和1，2，3其實是一樣的！所以，當半徑（假設為一個有理數），乘以2π以後，得到的那個無理數，在數軸上同樣是一個固定的點，這個點也不會跑來跑去，固定的，所以，圓的周長當然也是固定的值！無理數和有理數共同組成了數軸，每一個數在數軸上都有對應的唯一的點，不能因為無理數是無限不迴圈就認為在數軸上的點沒有辦法固定，如果這麼想，迴圈小數同樣沒有辦法固定在數軸上了，顯然這個是錯誤的，因為所有的有理數都可以表示為兩個整數的比值，整數總是固定的了吧！你要說現實世界中是否能夠畫出這樣的無理數，我只能說，別說無理數了，你連整數都畫不出來，任何標準的幾何圖形都畫不出來！

我不懂數學，請大家指教。

世界上只要存在一個圓，那麼它的周長和直徑肯定是確定的，面積也是確定的。至於以我們現有的手段能否準確測量出它周長和麵積是另一回事，因為測量方法和工具都是人設計和定義的。

Pi是圓的周長與直徑的比值，反映的是兩者的比例關係。這個比例關係是有理數，還是無理數不是圓是否存在的前提條件，或者說Pi是人類強行拿圓的周長與直徑比較而發現的比例關係。就像拿你自己的臂展除以身高也可能會得到一個無理數一樣，但你不能說自己的臂展身高不確定。從某種意義上講，Pi是人們為了認識和解析圓這種客觀存在，而製造的工具，不能因為工具尚不完善，而責備客觀物不確定。

由於圓的周長、面積非常難以計算，困擾了人們很多年，後來大家發2PIr在純數學邏輯上等於回的周長、PiR平方在純數學邏輯上等於圓形面積，但很不幸Pi卻是個無理數，只能計算出接近圓周長、面積客觀值的近似值，然而我們目前還沒有其它更好的方法，所以就勉強接受了這個演算法。如果有一天人們發現了另外的計算圓的面積的方法，而且不需要無理數參與計算，那麼Pi就完成歷史使命，可以退休了。

總結:1.Pi是圓的周長與直徑的比值，比值有理無理，不影響圓的客觀實在性，換句話說就是不影響圓的周長直徑的確定性。2.Pi的存在是妥協的結果，因為人們還沒發現更好的計算圓面積的辦法。

在代數上，π＝3.1415926... 是一個無限不迴圈小數，直覺告訴我們它一直在變動的數。在幾何上，直徑等於1的圓周長度是π，生活常識告訴我們圓周是長度固定不變的曲線。但是，不管是代數還是幾何都是同一個π，於是截然相反的直覺和常識中只有一個是對的，那就是常識，即：π是固定不變的。

那麼，為什麼我們在代數上的直覺錯誤呢？這和稱作極限的數學概念有關。

極限最早是和一些悖論聯絡在一起的，其中最有名的莫屬古希臘時期芝諾提出的追龜問題：

古希臘跑的最快的英雄阿基里斯追趕一隻爬在前方的烏龜。阿基里斯對準烏龜的當前位置跑過去，當他跑到該位置時，烏龜已經向前爬了一段，於是阿基里斯又對準烏龜的新當前位置跑過去，當他跑到該位置時，烏龜又向前爬了一段，於是...。

這個迴圈會進行下去，我們的直覺告訴我們 阿基里斯 永遠 追不上 烏龜。可是這又違反我們的生活常識：跑的快的人總可以追上跑的慢的人。同一個事物只能有一種可能，這裡，常識是對的，直覺又是錯的。

我們可透過具體分析找出問題之所在，設，阿基里斯 和 烏龜的 速度分別是 w 和 v，顯然 w > v > 0，最初阿基里斯距離烏龜的距離是 l，則：

最初阿基里斯距離烏龜 l，阿基里斯跑完 l 用時 t₀＝l/w；

在 t₀ 時間裡烏龜爬了 l₁＝vt₁＝v(l/v)＝l(v/w)，阿基里斯跑完 l₁ 用時 t₁＝l₁/w＝l/w(v/w)；

在 t₁ 時間裡烏龜爬了 l₂＝vt₂ ＝l(v/w)²，阿基里斯跑完 l₂ 用時 t₂＝l₂/w＝l/w(v/w)²；

...

在 tᵢ₋₁ 時間裡烏龜爬了 lᵢ＝vtᵢ₋₁ ＝l(v/w)ⁱ ，阿基里斯跑完 lᵢ 用時 tᵢ=lᵢ /w=1/w(v/w)ⁱ；

...

令，q = v/w ，則阿基里斯追趕距離呈現如下序列：

l, l q, l q², ..., l qⁱ, ...

第 i 輪追趕結束時，追趕總距離是：

Lᵢ = l + l q +l q² + ... + l qⁱ

等式兩邊同乘以 q，有：

q Lᵢ = l q + l q² + ... + l qⁱ + l qⁱ⁺¹ = (l + l q + l q² + ... + l qⁱ ) + l qⁱ⁺¹ - l = Lᵢ + l qⁱ⁺¹ - l

最終得到：

Lᵢ = l(1 - qⁱ⁺¹) / (1 -q)

阿基里斯對烏龜的追趕會一直進行下去，當 i → ∞ 時，由於 w > v > 0，故 0 < q < 1，所以 qⁱ⁺¹ → 0，進而 Lᵢ → l / (1 - q)。令 L = l / (1 - q)，L 就是阿基里斯剛好追上烏龜所跑的距離。

類似地，阿基里斯追趕所用的時間呈現如下序列：

l/w, l/w q, l/w q², ..., l/w qⁱ, ...

第 i 輪追趕結束時，追趕總用時是：

Tᵢ = l/w + l/w q +l/w q² + ... + l/w qⁱ

用上面的方法，可以算出：

Tᵢ = l (1 - qⁱ⁺¹) / (w - qw)

同理，當 i → ∞ 時， qⁱ⁺¹ → 0，進而 Tᵢ → l / (w - qw)。令 T = l / (w - qw)，T 就是阿基里斯剛好追上烏龜所用去的時間。

事實上，上面的距離和時間序列都是等比數列，Lᵢ 和 Tᵢ 分別是它們的部分和。

綜上，阿基里斯追趕烏龜看似是無限迴圈下去的，但是隨著迴圈次數的增加，追趕的距離和所花費的時間越來越小，以至於將他們加起來得到的總距離和時間都是固定有限的值，這剛好符合上面的常識。實際上，追趕問題僅僅是小學數學應用題，可以直接由聯立方程：

L/w = T，l + Tv = L

解得：

L = l / (1 - v/w)，T = l / (w - v)

這和上面折騰了半天的結果完全相同。

追龜問題告訴我們：被分割為無限輪迴圈的動作序列，並不一定是會永不停歇的進行下去，因為每輪迴圈所佔有的空間和所花費的時間可能會越來越小趨近於零。

到這裡即便是事實擺在面前，肯定還有人像我一樣，依然覺得追龜會一直進行下去，我是這樣說服自己的：

直覺：一個無線的序列加起來怎麼可能有限？可以，極端的例子 就是 可列個 0 加起來等於 0；

直覺：總覺得序列相加需要花費時間？◆ 在數學上，運算只有算了才花費時間，上面的追龜問題，利用巧妙的方法，避免了無限次相加的運算，所以所花時間固定。◆ 在現實中，事物相加需要時間，但是花費時間可以越來越小趨近於 0，上面的追龜問題就是例子。

其實，在追龜問題求解過程中， L₀, L₁, L₂, ..., Lᵢ ... 也是一個序列，記為 { Lᵢ }，L 稱為序列{ Lᵢ } 的極限，同樣，T 稱為序列 { Tᵢ } 的極限。並不是所有序列都有極限的，比如：

一尺之棰日取其半萬世不竭。

每1天取一次，所以每次用時構成序列：

1, 1, 1, ...

第 i 次，總用時為：

Tᵢ = 1 i = i

當 i → ∞， Tᵢ → ∞，故 序列 {Tᵢ } 沒有極限，即，所謂的：萬世不竭。

回到 π 的問題。令 q = 1/10, 則 π 的 十進位制小數 (3.1415926...) 的所有位數構成一個序列：

3, 1q, 4q², 1q³, ..., kᵢ qⁱ , ...

其中，kᵢ 是自然數 並且 0 ≤ kᵢ ≤ 9，數列部分和如下：

πᵢ = 3 + 1q + 4q² + 1q³ + ... + kᵢ qⁱ

構成另外一個序列 { πᵢ } = π₀, π₁, π₂, ..., πᵢ , ... ，接下來就是判斷 i → ∞ 時，πᵢ 是否有極限了。由於 kᵢ 不確定，所以我們不能使用追龜問題的方法將 πᵢ 具體求出來，再進行判斷。不過好在數學家研究了實數空間，發現它是完備的，即，所有 柯西列 的極限都存在。 於是我們只要證明 { πᵢ } 是柯西列就可以了：

根據柯西列定義，如果序列 {aᵢ} 對於任意小的 ε > 0 都能找到 自然數 N 使得對於任意自然數 u, v > N，都有 | aᵤ - aᵥ | < ε，則稱 {aᵢ} 是柯西列。

對於任意的 ε > 0，一定存在 N 使得 qᴺ < ε，對於任意 u, v > N，不妨設 u > v，則有：

| πᵤ - πᵥ | = πᵤ - πᵥ = kᵥ₊₁ qᵛ⁺¹ + ... + kᵤ qᵘ ≤ 9 qᵛ⁺¹ + ... + 9 qᵘ = 9 qᵛ⁺¹ (1 - qᵘ₋ᵛ) / (1 - q)

將 q = 1/10 帶入，有：

| πᵤ - πᵥ | ≤ 9 (1/10)ᵛ⁺¹ (1 - (1/10)ᵘ₋ᵛ) / (1 - 1/10) = (1/10)ᵛ - (1/10)ᵘ = qᵛ - qᵘ

因為 qᵘ > 0，所以：

| πᵤ - πᵥ | < qᵛ

又因為 v > N, 所以 qᵛ < qᴺ ，於是最終有：

| πᵤ - πᵥ | < qᴺ < ε

這就證明了 { πᵢ } 是柯西列，故，當 i → ∞ 時，πᵢ 的極限存在，它就是 π。

這個證明過程並沒有，將序列中的每一項計算出來，因此在時間和空間上，這個證明 也是有限的，也就是說“π是固定的”可以在有限的空間和時間中確定，所以“π是固定的”是事實。這和我們的幾何常識 相符。

但是，由於我們並沒有具體計算出來每個 {πᵢ}，所以我們依然不知道 π 的具體 值。想知道 π 的值只能老老實實 計算，每次計算所花時間基本相等，所以 “計算 π 值”這件事件是永遠不會結束的。

注意：知道一個數是固定的 和 知道它的確切值 是兩回事情，後者蘊涵前者，前者不蘊涵後者。

無限不迴圈小數，3.1415926... 就是 { πᵢ } 的極限 π，是固定的數字。只是我們不能在有限的時間內確定它的所有小數位。

我們也可以這樣理解：阿基里斯追趕一個前方變速爬行的烏龜，阿基里斯的速度是 w，烏龜速度每輪都不一樣，

起初，阿基里斯距離烏龜 l₀ = 3 ， 阿基里斯追趕 l₀ 用時 t₀ = l₀ / w = 3/w；

在 t₀ 時間裡烏龜爬了 l₁ = 1q，阿基里斯追趕 l₁ 用時 t₁ = l₁ / w = 1/wq；

在 t₁ 時間裡烏龜爬了 l₂＝4q²，阿基里斯追趕 l₂ 用時 t₂＝l₂/w＝4/wq²；

...

在 tᵢ₋₁ 時間裡烏龜爬了 lᵢ＝kᵢqⁱ ，阿基里斯追趕 lᵢ 用時 tᵢ=lᵢ /w=kᵢ/wqⁱ；

...

第 i 輪追趕結束時，追趕總距離和總時間是：

Lᵢ = 3 + 1q + 4q² + 1q³ + ... + kᵢ qⁱ

Tᵢ = (3 + 1q + 4q² + 1q³ + ... + kᵢ qⁱ )/w

隨著，追趕輪次的增加，烏龜爬行距離越來越短，阿基里斯追趕時間也越來越短，最終 當 i → ∞ 時，Lᵢ → π，Tᵢ → π/w。所以，阿基里斯和烏龜證明了 追趕 π 這麼長距離 這件事，在有限的時間和空間是可以完成的，故 π 一定是固定不變的。

最後，大家有沒有發現 {πᵢ} 中的每一項 都是有理數，而 {πᵢ} 的極限 π 卻是 無理數？

其實，數學家證明了，有理集在實數軸上稠密。所謂稠密就是指：實數軸上任何一個點（包括無理數），都可以找到一個有理數序列，使得後者的極限是前者。

這和 {πᵢ} 的極限是 π 相符合。

極限是 π 的有理數序列並不唯一，比如：

圓的內接正 i 邊形周長 Cᵢ ；

Sᵢ = 4 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + ...；

都是極限趨近於 π 的有理數序列。

直接上圖（不好意思關於這方面可能也就是大眾水平，簡要談一下自己看法）

無理數，無限不迴圈小數，但不等於他不是固定的，恰恰相反，它是固定的。

初中數學知識：任何一個實數都能夠在數軸上找到位置！而且，數軸上任意一點，它是無理數的機率比有理數要大得多。（比買張彩票中頭獎機率還要低，如果是任意的，基本上你是不可能碰到有理數的）那麼根據數軸上原點到該點距離就是其本身，至少來說，這個可視的距離是固定！

就像上圖中根號2，根號10一樣，長度是固定的！

你拿米尺測量，可能根號2大概1.4，拿20cm直尺去測，可能1.41多一點，用軟體去測，取決於你所選取的小數位數，可能是1.414之類不等！

補充幾點:

1.能不能固定相對面就是會不會變化，π是一個確定的值，所以圓周是固定的。為什麼給人錯覺圓周是不確定的，因為π是一個無窮無盡不迴圈小數，總有人認為取π前三位小數位計算和π四位位計算得到結果不一樣。例如，直徑10000的一個圓，算出來是31410和31415，這些都是近似值，精確值應該表述為10000π。近似值隨著精讀會變化，但是準確的只有一個。面積同理。

2.到底有沒有完美的圓。我們接觸的客觀世界是沒有完美圓的（正圓），但是數學或者學科模型上是存在的（理想化情況，忽略線寬，佔位等）回到圓的定義:平面上到某一個點長度等於一個固定值點集合。在客觀世界，由於線寬（宏觀），分子體積（微觀）是不可能做到絕對平滑的，也就是說，放大到極致比如幾千上萬倍，你看到的就是不平滑邊緣。（球同理，球是一個空間模型）

假裝一條第一次補充和第二次補充的分割線

3.十進位制確實無限不迴圈，如果認為規定一個π進位制，那麼π就是這種進位制下的一個最小“兩位正整數”，不過那時，客觀世界將亂成一鍋粥了吧！畫面不敢想象。不過這時候，仍然是無理數。

這是對有理數無理數的誤解或者不理解，不管是有理數還是無理數，都是一個數，而且都是固定的數，有理和無理只是人為定義的概念，都是實數，是真實存在的固定的數！

說白了，不管是有理數還是無理數，與固定不固定沒有任何關係，這種思維是標準的偷換概念。

舉個例子，√2也是一個無理數，線上段上我們很容易畫出√2釐米的線段，這說明√2釐米長的線段肯定是固定的，同樣我們也能畫出π釐米長的線段，你說π（或者π釐米）不是固定的嗎？

√2釐米的線段是固定的，不能因為√2是無理數就說它是不固定的，不固定是完全另外一個概念，比如說√2約等於1.4142，如果√2約等於1.4152那才叫不固定的！

有人可能會說，我們永遠無法準確表達√2到底是多少，這還是一種思維的侷限性，因為我們已經準確表達了，√2就是√2，這很準確了，你非要用所謂的小數去表達√2，那是你自己的問題，自討苦吃，數學路僅僅包含有理數，無理數和有理數是平等的，都是對數學的表達，幹嘛非要用有理數表達出來的才是準確的？

另外去思考一點，極限的問題，點沒有長度，為啥由無數個點組成的線段就有長度了呢？

我來解答這個問題吧！

解答這個問題之前，我們先弄清楚圓周率的概念，也就是題主說的π是個什麼東西。

因為圓的弧形形狀，我們是不好測量它的周長的，不像矩形那樣，只要把幾個邊測量出來，求和就可以了。尤其當出現了一個很大很大的圓的時候，我們想要知道它的周長，就得用一把軟尺圍繞這圓周轉一圈去測量。或者用一根繩子繞圓一圈，再測繩子的長度，來得出圓的周長，因為測量的時候，很難保證尺子與圓的邊緣完全重合，所以，誤差也是很大的。

這樣會費時費力，而且我們在實際運用中，往往需要知道很大的圓的周長是多少，比如說地球的周長，你總不能調動千軍萬馬去拉上繩子測量吧，那是不切實際的。

所以，老祖先就在找直徑和圓周之間的關係。因為測直徑和測圓周相比，直徑的長度在測量的時候是比較容易的，經過老祖先反覆測量，發現圓周和直徑之間是有一種等量關係的，這個等量關係就是直徑乘以一個比3大一點的數，就是圓周的長度。這個比3大一點的數就是圓周率，用字母表示就是π。

π可能是人類發現的第一個無理數，是人類在計算圓周與直徑的關係之比的時候得出來的。

無理數也叫無限不迴圈小數，它主要是透過開平方後得出來的數字，計算π的時候，也是需要開平方計算的，所以就得出了這麼一個數字。

因為周長可以用直徑乘以π來得到，那麼一個無理數乘以一個有理數，結果應該還是無理數，題主的想法也是不無道理的。

那麼，周長到底是有理數還是無理數呢？

我認為，有兩種情況：

如果圓的直徑是一個有理數，那麼有理數乘以π得出的周長就是一個無理數，這個周長就是無理數；

如果圓的直徑是一個無理數，並且正好可以和π約分掉，那麼，周長就是一個有理數。比如，已知圓的直徑是5/π，那麼，這個圓的周長是多少呢？就是5/πXπ=5，你說，它是不是個有理數？

圓周率當然是無理數，所謂無理數指的是那些無限不迴圈的小數，也就是無法寫成整數之比的數。人類認識到π是無理數的時間並不是特別久，應該要比認識到根號2還要晚，畢竟π不是那麼容易能說清楚具體的構造方式的。

既然π是無理數，那麼也就是我們不管計算到它的小數點後多少萬億位，始終都是不準確的了？可是現實中，你規定好一個圓的半徑和圓心，這個圓的所有特徵就完全被確定下來了啊，周長，面積等等。

首先，我們要明確一個概念，某個具體半徑的圓周長是一個固定值，但並不代表我們就可以把這個固定的值準確求出來。

比如，任意的一元n次方程總是有n個解，不管這個解是實根還是復根，反正這些總是可觀存在的，但是這不意味著你就可以把這些解求出來。歷史上很多人痴迷於五次方程的根式解一樣，認為一定存在，並且只要我們努力就一定能夠的出來這樣的根式解法，可惜，拉格朗日等等。尤其是在高斯得到了算術基本定理（一元n次方程總是有n個解）之後，這個想法更加讓人痴狂。然而從來沒有人成功，直到有個天才伽羅瓦站出來，用自己的理論證明了，沒有這樣的根式解法，這場數學戰爭才算是結束。

我們在求解積分的時候，很多形式的積分看起來很簡單，可是你就是求不出原函式，那就只好一直用積分符號來表示了，雖然你看著難受。但是你卻不能說原函式不存在，原函式一直都存在，只是我們用現有的數學方法表示不出來而已。

微分方程是解釋這個世界很多現象最精準的數學工具，甚至可以說沒有之一。有些微分方程，如果你瞭解它的成立過程，你會覺得沒有什麼比它還要精簡幹練了。許許多多重要微分方程的求解過程，可能要耗盡一個數學家一生的精力，然而你求不出來就是求不出來，並不代表這個解不存在。就像千禧年七大難題之一的納威斯托克斯方程一樣，就是難以求解。

所以，這兩個問題之間並不矛盾。這裡的π只是一個代號，你用a,b,c同樣可以，只不過為了推演方便，等到我們真正需要數值計算的時候，隨時將π任意精度的數值代入即可。

與其說這是一個數學問題，不如說這是一個哲學問題。我們竭盡所能去得到的結果，可能永遠都不是最後的事實，雖然這個事實一直存在且固定著。

Л是一個無理數，那麼圓的周長也應該是無理數，但圓的周長是固定的啊，怎麼解釋？

在談之前，先普及一下π的知識點。

π是圓周率，我們國家在12世紀之前就已經有過研究。比較粗糙，認為它是為3.

圓周率（Pai）是圓的周長與直徑的比值，一般用希臘字母π表示，是一個在數學及物理學中普遍存在的數學常數。π也等於圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵值。 在分析學裡，π可以嚴格地定義為滿足sin x = 0的最小正實數x。圓周率用字母 π（讀作pài）表示，是一個常數（約等於3.141592654），是代表圓周長和直徑的比值。它是一個無理數，即無限不迴圈小數。無理數的認識

我們通俗的認識就是無限不迴圈小數。

無理數，即非有理數之實數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會迴圈。 常見的無理數有大部分的平方根、π和e（其中後兩者同時為超越數）等。無理數的另一特徵是無限的連分數表示式。傳說中，無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現，而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示，不相信無理數的存在。後來希伯斯將無理數透露給外人因而被處死，其罪名等同於“瀆神”。

認知錯誤就是在一個是π是周長與直徑的比值，還有一個就是無理數不能寫作兩整數之比。

這裡我們要理解的是三分之π，它不是分數，它是個無理數。有理數乘以或者除以無理數它的結果必然是無理數，有理數加上或減去無理數它的結果還是一個無理數。

而我們的π，也就是圓周率它是周長與直徑的比值。只要周長當中任意一個是一個無理數，它的結果毫無疑問是無理數。

圓的周長是固定的，當然直徑也是固定的。但是這裡面也許圓的周長的數值是一個有理數，但你能保證它的直徑的長度的數值也是一個有理數嗎？這裡面就牽扯到真值與測量值之間的關係。測量值與真值之間的關係只能是無限接近，不能達到完全相等。不管多精密的儀器測出來的值它總是有誤差的。我們根據這個關係基本可以確定，我們在學習計算中的周長和直徑的值當中必然有一個都是估計值。而且它的真值必是一個無理數。

所以我們不能說周長是固定的它與直徑的比值就是有理數。要知道π它是個固定值，但它也是一個無理數哦~

這位朋友，我想你可能是搞錯了很多數學概念吧。

Pi這個數字確實是無理數，但是圓的周長不一定無理數，比如說直徑是10/Pi的圓，這個圓的周長就是10，不是一個無理數。

也許有人要問了：10/Pi是什麼數？這個數存在嗎？為什麼一個圓的直徑可以是這麼一個數？

10/Pi這個數當然存在了，這個數就是10/Pi，這個數的性質就是與Pi相乘等於10，圓的直徑也可以是任何數，可以是1，可以是2，可以是根號2，可以是Pi，當然也可以是10/Pi。所以確實有這麼一個圓，它的周長為10，這是沒有任何問題的。

而任何一個確定的無理數，比如說根號2，比如說Pi，比如說e，都是固定的數字，這個數字是唯一的、不變的。

那麼有人就要問了：這個數字的小數位數不是無限的嗎？小數位數無限的數還能是固定的嗎？我倒要反過來問了：為什麼小數位數是無限位的數就不能是固定的？

比如說，1這個數字，這個數字實際上是1.0000000...

1這個數字是固定的，因為這個小數點前的數字是1，小數點後第一位是0，第二位是0……每一位都有一個固定的數字，直至無窮，所以1這個數字是固定的、確定的。

但是Pi這個數字也是一樣呀，Pi=3.1415...，這個數字小數點前的數字是3，小數點後第一位是1，第二位是4……每一位都有一個固定的數字，直至無窮，所以Pi這個數字是固定的、確定的。

關於Pi是確定的這個問題答槓精問。

肯定有槓精會抬槓，跟我說：你現在告訴我Pi的第一萬億億億億億億億億……位數字是什麼。

我只能說，現在還不知道，但是這個小數位上的數字是確定的。

槓精肯定還不服氣：你不知道還說這個數字是確定的？

我會回答他：我確實不知道，但是我不知道不代表這個數字不是確定的，因為從一開始定義的時候這個數字Pi是唯一的。而決定Pi是唯一的根據是由幾何學公理推匯出來的，因為圓的周長與半徑的比值就是一個確定的數字。這個數字就存在在那裡，我們人類只是透過不斷求解來逐漸揭示這個數字各個小數位上是數字幾而已。

總結一下：

Pi是無理數不錯，但是不代表圓的周長就是無理數，圓的周長也可以是有理數；同時，就算是圓的周長是無理數，圓的周長也是固定的，因為任何無理數雖然小數位數是無窮多的，但是這無窮多的小數位上每一位數字都是確定的，所以這個無理數也是確定的。

無理數也是固定的一個數，它在數軸上有確定的位置。例如，以數軸上的0-1為邊長，作一個正方形，它的對角線就是一個無理數。將這個對角線移動到數軸原點，對角線的另外一端確定的一個點就是無理數。

兀源於平面幾何：圓周長=圓周率x直徑，可應用於求圓體的周長或直經，周長與直經儘管變長或變短，都是實數。圓周率是一個比例關係，可用分數表達，或用其它形式表達，透過數學計算結果，周長與直徑都是實數，不是虛數出現。由平面圓，應用到球體計算，或計算天體球體，球體的周長與直徑都是實數並非虛數。思想實驗：宇宙膨脹，由較小宇宙球體逐漸變大或越來越大，其周長與直輕都可計算，給果都是實數。尤拉公式，就是讓虛數迴歸自然數的楷模，至今無人用得上……

你說的兩點基本上都對，現實中你畫一個圓，或者你找到一個圓的物體，這個圓的周長是無理數的機率是100%。之所以只說基本上，而不說絕對，只是因為在數學概念上，你可先確定周長為有理數，再確定這個圓。當然，這隻能存在於數學概念上，實際根本做不到，因為取不到長度為有理數的一個線段。

圓的周長是無理數和圓的周長是固定的，兩者並不矛盾。

這麼說吧，在數軸上，你隨機取一個點，它是有理數的機率為0，是無理數的機率為1。

對應到現實生活中，你能接觸到的任何一個實際物體的尺度，無論是長度、面積還是體積，它的數值肯定都是無理數。注意，這裡說的是實際物體，不是數學概念上的圖形。

究其原因，是因為無理數的數量要遠遠多於有理數（這麼說不嚴謹，只為便於理解）。雖然有理數是無限多，無理數也是無限多，但兩者差別卻很大。用通俗的話來說，就是任意兩個不同的有理數之間，都有無窮多個無理數。但反過來就不是了。

舉個例子來說，在一面牆上以地面和一側為基準，確定牆上每個點的橫座標和縱座標，如果其中有一個是有理數就把該點塗上黑色，如果兩個值都是無理數，那就塗上白色。那麼整面牆都塗上顏色以後，你看到的只有白色，不會看到一個黑點。